線形代数例

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 = 36$

ステップ 1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $36$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 65 - 36 = 0$

ステップ 1.2

$65$ から $36$ を引きます。

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 14 y + 29 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = 14$ 、および $c = x^{2} - 8 x + 29$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$196$ から $116$ を引きます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.2

$4$ を $32 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.3

$4$ を $80$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.2

$8$ を $- 2$ プラス $10$ に書き換える

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7

$4 (- x - 2) (x - 10)$ を $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

$196$ から $116$ を引きます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.2

$4$ を $32 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.3

$4$ を $80$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.1.2

$8$ を $- 2$ プラス $10$ に書き換える

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7

$4 (- x - 2) (x - 10)$ を $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (x^{2} - 8 x + 29)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$- 4$ に $29$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 x^{2} + 32 x - 116}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

$196$ から $116$ を引きます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6

因数分解した形で $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

$4$ を $- 4 x^{2} + 32 x + 80$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 32 x + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.2

$4$ を $32 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 80}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.3

$4$ を $80$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.4

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (8 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.1.5

$4$ を $4 (- x^{2} + 8 x) + 4 (20)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.2.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 8 (x) + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.1.2

$8$ を $- 2$ プラス $10$ に書き換える

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 2 + 10) x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 2 x) + 10 x + 20)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (x (- x - 2) - 10 (- x - 2))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.7

$4 (- x - 2) (x - 10)$ を $2^{2} ((- x - 2) (x - 10))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.7.2

括弧を付けます。

$y = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 2) (x - 10))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 7 \pm \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 7 + \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

$y = - 7 - \sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$

ステップ 8

$\sqrt{(- x - 2) (x - 10)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(- x - 2) (x - 10) \geq 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- x - 2 = 0$

$x - 10 = 0$

ステップ 9.2

$- x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$- x - 2 = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ について $- x - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- x = 2$

ステップ 9.2.2.2

$- x = 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.2.1

$- x = 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 9.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

ステップ 9.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{- 1}$

ステップ 9.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.2.3.1

$2$ を $- 1$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 9.3

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 9.3.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 9.4

最終解は $(- x - 2) (x - 10) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 10$

ステップ 9.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 10$

$x > 10$

ステップ 9.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 9.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$(- (- 4) - 2) ((- 4) - 10) \geq 0$

ステップ 9.6.1.3

左辺 $- 28$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.6.2

区間 $- 2 < x < 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.2.1

区間 $- 2 < x < 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(- (0) - 2) ((0) - 10) \geq 0$

ステップ 9.6.2.3

左辺 $20$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.6.3

区間 $x > 10$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.3.1

区間 $x > 10$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 9.6.3.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$(- (12) - 2) ((12) - 10) \geq 0$

ステップ 9.6.3.3

左辺 $- 28$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 10$ 真

$x > 10$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 10$ 真

$x > 10$ 偽

ステップ 9.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x \leq 10$

ステップ 10

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2, 10]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq 10}$

ステップ 11

線形代数 例

線形代数例